9. Il principio di corrispondenza (limite classico)

Un principio base di coerenza delle teorie fisiche richiede che, se si introduce una nuova teoria in sostituzione di una precedentemente accettata, per spiegare nuovi fenomeni che quella precedente era incapace di spiegare, la nuova teoria deve spiegare anche tutto quello che la teoria precedente era già in grado di spiegare, o ancora meglio si deve riuscire a mostrare che, in qualche limite o facendo qualche approssimazione, dalla nuova teoria si ricostruisce la vecchia.

Detto in termini più espliciti, all'interno della fisica quantistica si deve riuscire a spiegare perché, se tale teoria è quella fondamentale, il mondo macroscopico segua così bene le leggi della meccanica classica, che si sono rivelate errate. Non è accettabile, per le richieste di coerenza degli scienziati, che si dica semplicemente “gli oggetti microscopici seguono la meccanica quantistica, quelli macroscopici quella classica” senza spiegare come e perché questo “taglio” avvenga.

Si pone quindi il problema di spiegare come, dalla teoria quantistica in cui gli oggetti seguono tutti i cammini possibili, possa emergere per oggetti macroscopici quella classica, in cui le particelle percorrono traiettorie ben definite ed univoche. Per capire questo, possiamo affidarci ancora una volta a simulazioni di semplici fenomeni, che ci mostrino almeno qualitativamente la strada da seguire per fornire una spiegazione.

Osserviamo per prima cosa la simulazione della rifrazione di un fotone all'interfaccia tra due mezzi materiali, in Figura 32 link https://tube.geogebra.org/material/simple/id/flqFrFTa. Nella finestra di destra è mostrata, come al solito, la somma dei fasori corrispondenti ai vari cammini, che assume la caratteristica forma detta “spirale di Cornu”. Manipolando la simulazione, possiamo notare che, riducendo la lunghezza d'onda del fotone, il numero di cammini che si “arricciano” alle estremità della spirale aumenta, mentre il numero di cammini che ne formano il tratto centrale, che dà il contributo principale all'ampiezza finale, diminuisce. Tali cammini sono quelli vicini al “raggio” dell'ottica geometrica che unisce la sorgente al rivelatore, ossia quello determinato dalla legge di Snell. Si può mostrare che, in effetti, danno un contributo apprezzabile all'ampiezza finale solo quei cammini la cui lunghezza differisce da quella del “raggio” dell'ottica geometrica di meno di una lunghezza d'onda.

Andando al limite di questo processo, si può immaginare che, quando la lunghezza d'onda del fotone diventa infinitesimamente piccola rispetto alle altre scale di lunghezza caratteristiche del problema (in questo caso, la distanza sorgente-rivelatore) essenzialmente un solo cammino contribuirà all'ampiezza finale: il raggio dell'ottica geometrica.

Ecco che si è mostrato come, in un certo limite (quello di lunghezze d'onda molto piccole rispetto alla scala di lunghezza del sistema) la fisica quantistica del fotone riproduce i risultati di una teoria studiata in precedenza: l'ottica geometrica. Un'altra simulazione che può essere interessante osservare in questa prospettiva è ad esempio quella che riguarda lo specchio parabolico, al link https://tube.geogebra.org/material/simple/id/g5eJrRir.

E per le particelle massive? La spiegazione è analoga: al diminuire della lunghezza d'onda (di De Broglie) dell'oggetto quantistico rispetto alle dimensioni caratteristiche del sistema considerato, sempre meno cammini contribuiscono significativamente all'ampiezza finale, e quelli che lo fanno sono quelli molto vicini alla traiettoria classica. Nel limite in cui la lunghezza d'onda di De Broglie diventa infinitamente piccola essenzialmente solo la traiettoria classica contribuisce.

Può ancora aiutarci un'ultima volta una simulazione: quella dell'esperimento della doppia fenditura con particelle massive, con la possibilità di variarne la massa, al link https://tube.geogebra.org/material/simple/id/971719.

Da questa simulazione possiamo vedere che se la massa che impostiamo è “piccola” (in un senso che specificheremo meglio fra breve) si ha un comportamento essenzialmente quantistico (formazione della figura di interferenza) mentre se la massa è “grande” si ritrova il comportamento atteso per una particella classica: la formazione di due distribuzioni di probabilità isolate, corrispondenti al fatto che la particella vada a cadere dietro la prima o dietro la seconda fenditura.

Questo è il motivo per cui non si osservano figure di interferenza se si sparano oggetti macroscopici (supponiamo: granelli di sabbia) contro due fenditure. La lunghezza d'onda di De Broglie è infatti $\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$ , e la lunghezza d'onda di De Broglie di un granello di sabbia è enormemente piccola: infatti supponendo che la sua massa sia $m\approx {10}^{-6}\mathit{kg}$ e la sua velocità $v\approx 10m/s$ otteniamo per il granello di sabbia una lunghezza d'onda di De Broglie di $\lambda \approx {10}^{-28}m$ . E' chiaro che una lunghezza d'onda del genere sarà enormemente più piccola, ad esempio, della distanza tra le fenditure per cui vorremmo far passare i granelli di sabbia, o della loro larghezza. Per questo motivo risulta impossibile osservare effetti quantistici in oggetti macroscopici.

L'enunciazione del principio di corrispondenza "chiude il cerchio" per il nostro percorso: la fisica quantistica è in grado di spiegare i fenomeni alla scala atomica e subatomica; inoltre, è possibile dimostrare che, nel limite di lunghezze d'onda di De Broglie estremamente piccole (come sono sempre quelle degli oggetti macroscopici) si ottiene il comportamento previsto dalla fisica classica. La fisica quantistica, perciò, può essere assunta come teoria fondamentale.